1. Pendahuluan
Bagian penting dalam kehidupan seorang ahli sains adalah mengumpulkan data atau menghitung secara teori. Biasanya pada saat anda akan melakukan pengukuran anda akan menemukan sebuah diskrit dari sekumpulan titik yang menyatakan eksperimen anda.
Sebagai contoh, kita asumsikan eksperimen anda dinyatakan dengan sepasang nilai ;variabel bebas x, variabel tak bebas y yang nilai pengukurannya ada pada pada titik x. Sebagai sebuah ilustrasi anggap sebuah sumber radioaktiv dan sebuah detektor. Yang menjumlahkan bilangan cacah No,N1,N2...Nk pada saat t0,t1,t2...tk. dalam hal ini t adalah variabel bebas, yang sangat diharapkan untuk memilih cara yang cocok untuk masalah anda. Bagaimanapun apa yang anda ukur adalah sebuah diskrit dari sekumpulan pasangan bilangan (tk, Nk) pada daerah asal (t0,tk). Supaya bisa mendapatkan informasi dari beberapa eksperimen, kita harus dapat menemukan fungsi analitis yang akan memberikan kita N dengan t yang berubah ubah. Tapi kadang-kadang untuk menemukan sebuah fungsi analitis itu tidak mungkin tapi bisa juga fungsinya diketahui. Ini juga menghabiskan banyak waktu untuk menghitungnya. Kita mungkin hanya tertarik pada sebagian kecil variabel bebas.
Untuk mengilustrasikan titik ini, asumsikan sumber radioaktif anda 241Am, sebuah 
emmiter. Waktu paruhnya T1/2= 430 tahun. Secara jelasnya anda tidak dapat menghitungnya. Karena ini sangat lambat yang memungkinkan anda untuk untuk mengukur dalam periode waktu yang lama. Katakan saja setiap minggu sama dengan sama dengan dua bulan. Setelah lima bulan anda akan berhenti melihat data. Satu pertanyaan yang harus anda jawab adalah aktivitas apa yang terjadi pada hari rabu minggu ke-3 ?. karena hari ini termasuk hasil dari (t0,tk) anda harus menggunakan cara interpolasi untuk menetukan nilainya. Jika di lain hal, anda ingin mengetahui aktivitas sembilan bulan dari akhir pengukuran anda, anda akan mengekstrapolasi dari deret pengukuran.
emmiter. Waktu paruhnya T1/2= 430 tahun. Secara jelasnya anda tidak dapat menghitungnya. Karena ini sangat lambat yang memungkinkan anda untuk untuk mengukur dalam periode waktu yang lama. Katakan saja setiap minggu sama dengan sama dengan dua bulan. Setelah lima bulan anda akan berhenti melihat data. Satu pertanyaan yang harus anda jawab adalah aktivitas apa yang terjadi pada hari rabu minggu ke-3 ?. karena hari ini termasuk hasil dari (t0,tk) anda harus menggunakan cara interpolasi untuk menetukan nilainya. Jika di lain hal, anda ingin mengetahui aktivitas sembilan bulan dari akhir pengukuran anda, anda akan mengekstrapolasi dari deret pengukuran.Cara interpolasi adalah memilih sebuah fungsi g(x) misalnya g(xi)=fi untuk setiap data titik i dan i merupakan nilai pendekatan yang bagus untuk nilai x yang tergantung data asli. Tapi apa yang bisa kita kita anggap sebagai pendekatan yang bagus pada data asli? Karena titik-titik data di intertpolasikan dengan bilangan tak hingga dari fungsi maka kita harus memiliki kriteria atau petunjuk untuk memilih fungsi yang meyakinkan. Dalam matematika banyak sekali teorema analisis fungsi yang menyangkut interpolasi dengan analisis error. Sebagai sebua hukum metode ini di sebut kehalusan fungsi interpolasi. Tapi hal ini tidak berlaku pada fungsi seperti contoh berikut ini yang dimana hasil dari 1/(1+25x2) pada interval. Pada interval (-1,+1). Sebelum kita membahas tentang teknik tentang teknik interpolasi, kita harus menambah kata peringatan . karena anda mengukur titik diskrit anda harus berhati-hati dengan variabel bebas anda. Jika titik ini terlalu terpisah jauh anda akan kehilangan informasi antara perkiraan anda dari interpolasi yang mungkin mati total. Gambar 4.1 mengilustrasikan titik tersebut. Misalkan saja anda sudah melakukan 6 pengukuran pada titik yang di tandai. Anda akan jelas kehilangan sifat getaran dari fungsi. Pada penambahan, mulai dari titik-titik dan membentuk batang error, sebuah garis lurus akan dihasilkan yang diasumsikan sebagai sifat fungsi.
4.1. INTERPOLASI LAGRANGE
Sebagai langkah pertama interpolasi kita lihat pada interpolasi lagrange. Ini akan membantu kita memahami prinsip banyak hal tentang cara interpolasi seperti algoritma Nevile. Metode ini di peroleh dari fakta bahwa fungsi f(x) pada interval terbatas (a,b) selalu bisa dinyatakan dengan polinomial P(x). Tugas kita adalah menemukan polinom P(x)tersebut dari sekumpulan titik (xi,f(xi)) jika kita memiliki dua sebagai sepasang, interpolasi adalah langsung dan kita harus melakukan experimen lab sebelumnya, meliaht nilai tabulasi fan menetukan sebuah titik antara dua nilai yang tertulis.
Mari kita lihat tekanan vapor dari 4He sebagai fungsi suhu. Gamabr 4.2 pada literatur ini anda akan menemukan nilai tabulasi seperti ini : 
Dan tugas anda adalah menemukan tekanan 3,0 K. Cara langsung adalah melakukan sebuah interpretasi linier antara dua titik. Anda akan menyelesaikan dua persamaan .Supaya terselesaikan menjadi :
Menggabungkan persamaan (4.1) dan (4.2) sehingga menjadi :
Dengan persamaann untuk sebuah garis yang melewati (xi,yi(xi)) dan (x2,y2(x2)). Menggunakan interpolasi kita dapatkan sebuah nilai 21.871 kPa pada 3 K ketika parameter bernilai 21,595 kPa.
Supaya membuktikan hasil kita bisa menggunakan sebuah polinomial derajat dua dan sebuah interpolasi kuadrat. Dalam hal ini fungsi interpolasi kita akan menjadi :
Menggunakan poin-poin pada 2,7 ; 2,9 dan 3,2 K tekanan pavor untuk 3 K adalah 21,671 kPa
Langkah selanjutnya akan menggunakan empat titik dan penyelesaiannya dengan sebuah polinomial berderajat tiga, umumnya kita bisa menuliskan interpolasi dalam suku sebuah polinom.Dengan :
Yang merupakan persamaan interpolasi lagrange ini adalah sebuah polinomial yang memiliki nilai yk(k=1,2,3,...,N) untuk xk (k=1,2,3,...,N).
4.2 Algoritma Neville
Algoritma Neville menyediakan cara yang baik untuk menemukan interpolasi polinomial. Di dalam metoda ini, kita sedang menggunakan interpolasi linear antara itera-tions yang berurutan. Derajat tingkat dari keinginan yang polinomial hanyalah banyaknya iterasi-iterasi kita sudah lakukan. Umpamakan anda mempunyai lima pengukuran dari tekanan uap air Pi (Ti) pada lima suhu yang berbeda Ti dan anda berniat untuk menemukan tekanan uap air selama satu suhu T.Iterasi yang pertama untuk menentukan suatu linear Pij polinomial antara poin-poin yang berdekatan untuk semua nilai-nilai yang kita mempunyai persamaan:
Iterasi yang berikutnya akan lagi kembali adalah satu sisipan namun sekarang antara ini semua titik antara Sisipan kita sekarang adalah polinomial dari derajat tingkat dua. Kita akan melanjutkan proses ini untuk dua langkah lagi berakhir dengan empat derajat polynomial P12345 merupakan titik akhir kita. Dengan memasukkan lebih banyak poin-poin di dalam sisipan kamu akan meningkatkan derajat tingkat dari polinomial mu. Bagan yang berikut membantu untuk mengkhayalkan prosedur ini:
4.3 INTERPOLASI LINEAR
Cara interpolasi linear adalah pendekatan data pada sebuah titik X dengan sebuah garis yang melewati dua titik data Xj dan Xj+1 kepada X :
g (x) = a0 + a1 x (4.15)
Dimana a0 dan a1 x adalah koefisien dari fungsi-fungsi linear. Koefisen-koefisen bisa di peroleh dari sistem persamaan : Menyelesaikan system ini untuk a0 dan ai fungsi g (x) akan menjadi
 |
Pada interval [ xj , xj + 1 ]
Hal ini jelas bahwa untuk akurasi terbaik kita harus mengambil xj dan xj + 1 pada x. Interporasi linear (4.18) juga bisa ditulis dalam bentuk simetri
 |
Aplikasi dari interporsi linear untuk f (x) = sin (x2) diperlihatkan pada gambar 4.3
Kita pilih 10 titik belok untuk menyatakan fungsi asli pada interval [ 0.0 , 3.5 ]. Kemudian interpolasi linear di gunakan pada interval xj dan xj + 1 interval. Dari gambar kita bisa menyimpulkan interpolasi linier berlaku pada fungsi yang sangat halus saat turunan kedua dan lebih dari itu adalah kecil. Kita bisa membuktikan kualitas dari interpolasi linier yang bilangan dari data Xi pada intervalnya selalu meningkat.
Ini adalah catatan penting bahwa setiap data interval memiliki perbedaan koefisien yaitu koefisien a0 dan a1. Ini adalah prinsip penurunan dari data dengan fungsi yang sama, dengan koefisien yang sama, digunakan untuk menyederhanakan data a (memperkecil titik-titik data) pada interval [ X1, Xn ].
4.4 Polynomial Interpolation
Interpolasi polynomial termasuk metode yang paling popular dilambangkan
Jika fungsi melewati titik fj (Xj)
System umum dari n+ 1, persamaan linier untuk menentukan koefisien aj . Angka dari print data minus digunakan untuk interpolasi maka, linear ( atau dua titik ) interpolasi adalah order pertama interpolasi. Three point ( atau order kedua ), dengan persamaan :Dengan analisis kita peroleh koefisien 
kita substitusi ke (4.20) kitaperoleh interpolasi fungsi
kita substitusi ke (4.20) kitaperoleh interpolasi fungsi
Membandingkan hasil dengan persamaan (4.19) untuk interpolasi linear satu cara mudah memerlukan interpolating polynomial dari derajat n melewati n + 1 titikIni adalah rumusan klasik Lagrange untuk sisipan polinomial.
Di dalam Gambar 44 anda dapat melihat penerapan terlebih dulu, order(pesanan ketiga, ketujuh dan ke lima sisipan polinomial kepada data yang sama ditetapkan. Itu telah jelas bahwa menggerakkan dari order (pesanan yang pertama kepada order(pesanan ke lima dan yang ketiga memperbaiki nilai-nilai yang disisipkan untuk fungsi yang asli. Bagaimanapun, sisipan order(pesanan yang ketujuh sebagai ganti menjadi semakin dekat kepada fungsi fx menghasilkan alunan-alunan liar. Situasi ini janganlah luar biasa karena sisipan order(pesanan polinomial yang tinggi. Jadi; Dengan demikian yang nyata kesederhanaan sisipan yang polinomial mempunyai suatu samping yang bawah. Ada aturan dari ibu jari: jangan menggunakan sisipan order(pesanan tinggi. Order(pesanan ke lima bisa dipertimbangkan sebagai suatu batas praktis. Jika anda percaya bahwa ketelitian dari sisipan order(pesanan yang ke lima bukanlah cukup, lalu anda perlu mempertimbangkan; menganggap beberapa metoda yang lain dari sisipan. 4.5 Splin ( poros bintang) kubik
Salah satu [dari] kelemahan-kelemahan pokok dari sisipan polinomial yang terkait kepada ketakterusan dari turunan pada data yang menunjuk xj .Satu arah untuk memperbaiki sisipan polinomial dengan sangat adalah sisipan poros bintang. Prosedur untuk menurunkan koefisien-koefisien dari sisipan-sisipan poros bintang menggunakan informasi dari semua poin-poin data, yaitu., informasi tidak lokal, untuk menjamin global kehalusan/ kelancaran di dalam fungsi yang disisipkan sampai ke beberapa order(pesanan dari yang turunan.
Gagasan untuk sisipan poros bintang mengingatkan kepada mekanika sangat tua peranti-peranti yang digunakan oleh draftsmen untuk memperoleh suatu bentuk yang lembut. Itu seperti pengamanan suatu kupas dari bahan yang elastik ([penguasa/penggaris] logam atau plastik) antara mata kayu (atau paku-paku). Yang akhir bentuk adalah sungguh lancar (Gambar 45)
Splin kubik adalah metoda paling populer. Dalam hal ini yang disisipkan
fungsi di interval diperkenalkan di dalam bentuk
Untuk masing-masing interval kita perlu untuk memiliki suatu set tiga parameter:
bj , cj , dan dj . Karena ada interval ( n - 1), salah satu harus memiliki persamaan 3n – 3 untuk menurunkan koefisien – koefisien untuk j = 1, . . . , n – 1`. Faktanya gj (xj) = fj (xj)
merupakan hasil dari persamaan ( n – 1 ).
Pusat sisipan poros bintang adalah gagasan di mana fungsi yang disisipkan g(x) mempunyai turunan kesatu dan kedua pada masing-masing dari n – 2 interior point xj :
Kondisi-kondisi ini memaksakan persamaan 2n - 2 menghasilkan persamaan n - 1+2n - 2 = 3n -5 untuk koefisien-koefisien. Jadi; Dengan demikian dua kondisi-kondisi ini diperlukan. Ada berbagai kemungkinan untuk menentukan/memperbaiki dua kondisi-kondisi, sebagai contoh,poros bintang alami(wajar order(pesanan turunan yang kedua adalah nol di batasan-batasan. Memecahkan secara analitis suatu sistim dengan banyak persamaan memang agak susah. Bagaimanapun, komputer-komputer melakukan pekerjaan sangat cepat ini dan secara efisien. Karena ada banyak memprogram untuk sisipan yang berbentuk kubus yang tersedia, kita merekomendasikan nya penggunaan itu, sebagai ganti program poros bintang penulisan mu sendiri. Di Dalam Apendiks B.1 danB2 anda akan menemukan daftar pustaka-pustaka matematis dengan program poros bintang tersedia di Web.
Secara umum, poros bintang tidak mempunyai keuntungan-keuntungan (di) atas sisipan polynomial ketika yang digunakan untuk lancar, data bertingkah laku baik, atau ketika poin-poin data mendekati x skala. Keuntungan dari poros bintang masuk ke dalam menggambarkan ketika berhadapan dengan “jarang” data, ketika ada hanya sedikit poin-poin untuk fungsi mulus atau ketika banyaknya poin-poin adalah dekat dengan banyaknya maksimum-maksimum yang diharapkan.
Dari Gambar 45 anda dapat lihat seberapa baik sisipan poros bintang sesuai dengan f(x) = sin(x) . hanya pada enam titik data.
4.6 interpolasi fungsi Rasional
Sebuah fungsi rasional g (x) adalah rasio ( perbandingan) dua polinomial:
Fungsi rasional yang baik terurut mulai dari nol . Prosedur ini memiliki dua langkah utama. Dalam
langkah pertama yang perlu kita memilih kekuatan untuk pembilang dan denomina-tor, yaitu, n dan m. Merencanakan data pada skala logaritmik dapat membantu untuk mengevaluasikekuatan pembilang untuk x kecil, jika kita memiliki data di wilayah ini.
Penurunan atau peningkatan data untuk x besar memberitahu apakah sebaliknya n <m atau sebaliknya.
Sulit untuk mengatakan apa yang akan menjadi kombinasi terbaik dari n kekuasaan dan
m. Anda mungkin memerlukan beberapa percobaan sebelum datang ke kesimpulan. Sebagai contoh,
analisis kami mengatakan bahwa derajat pembilang adalah n = 2 dan derajat
dari penyebut adalah m = 1.maka :
langkah pertama yang perlu kita memilih kekuatan untuk pembilang dan denomina-tor, yaitu, n dan m. Merencanakan data pada skala logaritmik dapat membantu untuk mengevaluasikekuatan pembilang untuk x kecil, jika kita memiliki data di wilayah ini.
Penurunan atau peningkatan data untuk x besar memberitahu apakah sebaliknya n <m atau sebaliknya.
Sulit untuk mengatakan apa yang akan menjadi kombinasi terbaik dari n kekuasaan dan
m. Anda mungkin memerlukan beberapa percobaan sebelum datang ke kesimpulan. Sebagai contoh,
analisis kami mengatakan bahwa derajat pembilang adalah n = 2 dan derajat
dari penyebut adalah m = 1.maka :
Sekarang kita tahu jumlah parameter yang perlu kita temukan adalah lima. Namun,
kita harus memperbaiki satu dari koefisien karena hanya rasio masuk akal.
Jika kita memilih, misalnya , b0 sebagai nomor tetap c, maka kita perlu empat data
poin untuk memecahkan sistem persamaan untuk menemukan koefisien:
kita harus memperbaiki satu dari koefisien karena hanya rasio masuk akal.
Jika kita memilih, misalnya , b0 sebagai nomor tetap c, maka kita perlu empat data
poin untuk memecahkan sistem persamaan untuk menemukan koefisien:
untuk sistem persamaan linear. Sangat stabil dan kuat program untuk rasional
interpolasi fungsi sehingga dapat ditemukan di banyak perpustakaan numerik standar
